Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 6-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

384.5 Кб

Скачать

☆

Лекция № (дополнение к лекциям 6,7)

Моделирование областей интегрирования в полярных, цилиндрических и сферических координатах и вычисление интегралов от функций, заданных

вданных областях

1.Вычисление двойного интеграла по областям, ограниченным

прямыми линиями в полярных координатах

Пример 1. Область интегрирования D представлена на рис.1. Вычислить интеграл x2 y2 dxdy , используя декартовы и полярные координаты.

y x

1	x

Рис.1.

Решение: (в декартовых координатах)

Формализуем область интегрирования с использованием неравенств:

DOxy x, y : 0 x 1;0 y x .

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

Область является правильной в направлениях Ox и Oy .

Тогда

	x2	y2	dxdy	1 dx x		x2 y2	dy	1 dx	x2 y	y3	x		4	1	x3dx	1	.


										3		3			3
DOxy				0	0			0			0			0

Решение: (в полярных координатах)

Формализуем область интегрирования с использованием неравенств:


			1
DO , : 0	4	;0		.
DO , : 0		;0		.
			cos

Область является правильной в направлении любого луча, проведенного из

центра координат в бесконечность в диапазоне углов																														0			. Ограничение
																																4

для		последнего							неравенства						получено			с			учетом							x cos						1.	Откуда
следует, что										1			- уравнение прямой									x 1 в полярных координатах.

									cos
Тогда
													1

																														1
										4			cos						1		4
			2		2					4						2			1		4					4		0
																												0
		x		y		dxdy						d			d							d							cos
D										0			0						4 0
D										0			0						4 0

	1 4			1				d		1 4						1			d				1 4							1	dtg

	4	0		cos4							4 0		cos2 cos2											4 0		cos2
	4	0		cos4							4 0		cos2 cos2											4 0		cos2

	1 4			1 tg		2	dtg							1			tg			3					4		1				1		1
		0													tg															1				.
	4													4	tg						3						4			1	3		3	.
	4													4							3				0		4				3		3
																									0

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

Пример 2. Область интегрирования D представлена на рис.2. Вычислить интеграл x2 y2 dxdy , используя декартовы и полярные координаты.

1	y

1	x

y 1 x

Рис.2.

Решение: (в декартовых координатах)

Формализуем область интегрирования с использованием неравенств:

DOxy x, y : 0 x 1;0 y 1 x .

Область является правильной в направлениях Ox и Oy .

Тогда

1 x

x2 y

1 x

dxdy

x2 y2

DOxy

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

									4
1		1 x	3		x	3		x	4	1 x	4	1	1
1			3			3			4		4	1
x2	1 x			dx										.
x2	1 x			dx										.
		3			3		4			12			6
0												0
0												0

Решение: (в полярных координатах)

Формализуем область интегрирования с использованием неравенств:

			1
			1
DO , : 0	2	;0		.
DO , : 0		;0		.
			sin cos

Область является правильной в направлении любого луча, проведенного из

центра координат в бесконечность в диапазоне углов																						0				. Ограничение
																										2
для последнего неравенства получено с учетом																					y x 1. Откуда следует, что
cos								sin			1

									1			уравнение прямой y x 1 в полярных координатах.

				sin cos
Тогда
														1

										2			cos sin							1 2						1
		x			2	y		2	dxdy	2	d							2	d	1 2	d		4		cos	sin
					2			2										2					4		cos	sin

																								0
D										0				0						4 0

	1		2						1						d	1	2				1							d

	4						cos sin						4			16											4
													4							2					2		4
			0														0
																		cos			sin
																		cos		2	sin			2
																				2				2


1	2		1
	0
16	0				4
		sin		4
				4

		1
d
		16
	4

3				3
					dctg t
4	dt	1	4		dctg t

	sin4 t	16			sin2 t
4			4

	3				3							3 /4
		dctg t									ctg3 t
1 4		dctg t	1	4			2	t dctg t	1	ctg t	ctg3 t		1
				1		ctg								.
16		sin2 t		1		ctg								.
16		sin2 t	16						16		3		6
4				4								/4
												/4

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

2. Вычисление двойного интеграла по круговым областям в полярных координатах

Пример 3. Область интегрирования D представлена на рис.3. Вычислить интеграл x2 y2 dxdy , используя полярные координаты.

	D	x
		x
2		4
2

Рис.3.

Решение: (в полярных координатах)

Представим уравнение окружности

x 1 2

1 в полярных

координатах

cos

1 2

sin

1. Откуда получим

2 cos 0 .

Откуда получим

2cos

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

Представим уравнение окружности x 2 2 y2 22 в полярных

2 4 . Откуда получим

координатах

cos

sin

2 4 cos 0 .

Откуда получим

4cos

Тогда

dxdy /2

x2 y2

3dy 240

cos4 d 45 .

4cos

DOxy

2cos

3. Вычисление тройного интеграла по круговым областям в цилиндрических координатах

Пример 4 Найти объем тела, заданного ограничивающими поверхностями

		2 y2 ) 1;
z 16(	x 1	2 y2 ) 1;	z 32x 33.
Решение:
					2 y2 ) 1
Объемное тело формируется между параболоидом z 16(				x 1	2 y2 ) 1

и плоскостью z 32x 33. То есть из смысла тройного интеграла следует, что искомый объем можно вычислить по формуле:

		16 x 1 2 y2 1
V 1dxdydz dxdy			dz
	DOxy	32 x 33

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

V 16( x 1 2 y2 ) 1 32x 33 dxdy ;

DOxy

V 16 x 2 2 y2 5 dxdy .

DOxy

Изобразим область интегрирования DOxy см. рис.4, для чего предварительно решим уравнение:

16( x 1 2 y2 ) 1 32x 33;

x 1 2 y2 2 2x ;

x 2 2 y2 5 .

			2.5
			2
			1.5
			1
f1(x)			0.5
f1(x)
f2(x) 5	4.4 3.8 3.2 2.6	2	1.4 0.8 0.2 0.4 1

0.5

1.5

2.5

x				Рис.4.
				Рис.4.
Сделаем линейную замену переменной				вида: u x 2 , тогда	область
интегрирования: DOuy : u2	y2		2
интегрирования: DOuy : u2	y2	5	2	- окружность с центром	в точке

u 0, y 0. При этом якобиан (коэффициент) перехода к новому интегралу равен 1, так как

	u	u
	u	u
J	x	y		0	1.
J	x	y	1	0	1.
	y	y	0	1
	x	y

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

Тогда имеем:

V 16		x 2 2 y2	5 dxdy 16 u2					y2		5 dudy .
	DOxy			DOuy
Берем интеграл в полярных координатах:
V 16 u2 y2 5 dxdy
	DOuy
2
2		5			5 d
16 d		cos 2 sin 2			5 d
0		0

2			2			2	5		2		5
											5
		5
8 d 2 5 d			2 5 8 d
0	0		0				2
0	0		0
2											0
											0

100	d 200 .
	0
Ответ:		V 200 .

4. Вычисление тройного интеграла по круговым областям в цилиндрических и сферических координатах

Пример 5 Найти объем тела, заданного ограничивающими поверхностями


z 8 x2 y2 ;	z x2 y2 .
Решение:

Объемное тело формируется между конусом		z	x2 y2 и полусферой

z 8 x2 y2 . Из смысла тройного интеграла следует, что искомый объем можно вычислить по формуле:

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

			8 x2	y2
V 1dxdydz dxdy					dz .
	DOxy	z x2		y2

Найдем геометрию площадки интегрирования DOxy из уравнения

8 2 .

Откуда следует, что 2 - есть уравнение окружности радиусом 2 единицы с центром в точке 0,0 .

Тогда в цилиндрических координатах

	2				2		8 2		2								d
V		d			d			dz 2							8 2		d
		0			0				0
2						d							8			2				2	16

									2 8 2								8 2		3
				8 2
				8 2								3				3				0	3
	0											3				3					3
	0									32				1

	2		8				16					2
	2				3		16					2					3
					8											14 ед		.
	3						3				3							.
	3						3				3

в сферических координатах


2							8		3
	4	8	4	r3			8	2 8	3			2
	4		4	r3				2 8				2

V d d r2 sin dr 2 sin d										1
V d d r2 sin dr 2 sin d					3			3		1	2
0 0		0	0		3	0		3			2
0 0		0	0			0

32 2 1 14 ед3 . 3

Стаценко И.В. Дополнение к лекциям 6-7

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024440.3 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024435.65 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024384.5 Кб0Лекция 6-7.pdf
#
16.05.2024459.54 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024449.5 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024447.02 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024453.54 Кб1Лекция 9.pdf